3. Diskrete und kontinuierliche Verteilungen ^
Nach diesen anschaulichen Beispielen sollen nun die Eigenschaften von Zufallsvariablen etwas
systematischer behandelt werden.
Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße $x$ ist ein reelle Variable aus einem
Wahrscheinlichkeitsraum $S$, deren Wert zufällig bestimmte Werte annehmen kann.
Wenn nur diskrete Werte $x_i, {\small i\in {\cal N}}$ möglich sind, sind die
Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten des Wertes $x_i$ durch eine
diskrete Verteilung $P_i = P(x_i)$ gegeben.
Wenn kontinuierliche Werte möglich sind, wird die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten
eines Wertes im $x \in[x, x+dx]$ durch eine Verteilungsdichte $f(x)$ angeben, also
$P(x \in[x, x+dx]) = f(x)\,dx$.
Verteilungen bzw. Verteilungsdichten sind auf Eins normiert:
$\displaystyle \sum_{x_i\in S} P(x_i) \,=\,1\,$
bzw.
$\displaystyle \int_S f(x)\,dx \,=\,1$.
Man definiert die kumulative Verteilung bzw. die sogenannte Verteilungsfunktion als
$ F(x_0) \, = \, \displaystyle \sum_{x_i < x_0} P(x_i) \, $ bzw.
$ F(x_0) \, = \, \displaystyle \int_{-\infty}^{x_0} f(x)\,dx \, $.
Anm.: Die englischen Bezeichnungen sind "Probability Mass Function (PMF)
für die diskrete Verteilung, "Probability Density Function (PDF)" für die
Wahrscheinlichkeitsdichte und "Cumulative Distribution Function (CDF)"
für die (kumulative) Verteilungsfunktion. Die Abkürzungen werden wir
später benötigen, um auf die entsprechenden Methoden im Paket scipy.stats
zuzugreifen.
Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen verwendet man statistische Kenngrößen.
Für eine Reihe von Zufallszahlen definiert man den Mittelwert als
$\bar{x} = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$.
Diese aus einer endlichen Anzahl von Stichproben aus einer Verteilung berechnete
Größe dient als Schätzwert für den sog. Erwartungswert
$E[x] \, \equiv \, \left< x \right>$ der Verteilung, der als
Lokalisierungsparameter die Lage des Zentralwerts einer Wahrscheinlichkeitsdichte
festlegt.
Allgemein gelten einfache Rechenregeln für Erwartungswerte,
die aus der Linearität der Definition folgen.
Im folgenden seien $a$, $b$ Konstanten
und $x$, $x_1$ und $x_2$ Zufallsgrößen. Es gilt:
$\left< a \right> = a$, d. h. auch $\left< \left< x \right>\right> = \left< x \right>$
$\left< ax \right> = a \left< x \right>$
$\left< x_1 + x_2 \right> = \left< x_1 \right> + \left< x_2 \right>$
und damit auch $\left< a x_1 + b x_2 \right> = a \left< x_1 \right> + b \left< x_2 \right>$
Die Varianz, definiert als Erwartungswert des quadratischen Abstands der Zufallsgrößen
vom Erwartungswert, dient als Maß für den Bereich, den eine Verteilung abdeckt:
$ \displaystyle V[x] := \left< \left(x - \left< x\right>\right)^2 \right>$;
mit Verwendung der Rechenregeln für Mittelwerte lässt sich das in einen häufig
praktischeren, äquivalenten Ausdruck umformen
$ \displaystyle V[x] =\left< x^2 \right> - \left< x\right>^2$.
Die Standardabweichung einer Verteilung ist definiert als die Wurzel aus der Varianz:
$ \displaystyle \sigma[x] =\sqrt{V[x]}\,$.
Die Formeln zur Berechnung dieser statistischen Kenngrößen für eine Stichprobe,
eine diskrete Verteilung und eine kontinuierliche Verteilung sind in der folgenden
Tabelle zusammengefasst:
$$\begin{array}{c|ccc}
~ & {\rm Stichprobe} \, x_i, {\small i=1,...,N} &
{\rm diskrete \,Verteilung} \, P_i & {\rm Verteilungsdichte} \,f(x) \\
\hline % ----------------------------------------------------------------------------
E[x] = \left< x \right> \, := \mu &
\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i &
\sum_{i=1}^N x_i P_i &
\int_{-\infty}^\infty xf(x)\,dx \\
V[x] = \left<x^2 \right> - \left< x\right>^2 &
\frac{1}{(N \color{blue}{ - 1} )}\sum_{i=1}^N {x_i}^2 -\mu^2 &
\sum_{i=1}^N {x_i}^2 p(x_i) -\mu^2 &
\int_{-\infty}^\infty x ^2f(x)\, dx - \mu^2 \\
\end{array}$$
$\color{blue}{Anmerkung}$: In der Formel für die Varianz einer Stichprobe wird der Faktor
$N-1$ statt N verwendet; dabei handelt es sich um die sog. "Besselkorrektur", die eine
unverzerrte Schätzung der Varianz aus einer Stichprobe ergibt, deren Mittelwert aus der
gleichen Stichprobe bestimmt wurde.
Um weitere Eigenschaften von Verteilungen wie die Asymmetrie oder die Abweichung von der Gaußverteilung
zu beschreiben, definiert man die Größen "Schiefe" und "Wölbung", die von den
Erwartungswerten der dritten und vierten Potenz der Zufallsgröße abhängen:
Schiefe: $\, \displaystyle \gamma_1 = {\rm E}\left[ (x - \mu)^3 \right] / \, \sigma^3$
Wölbung: $\, \displaystyle \gamma_2 = {\rm E}\left[ (x - \mu)^4 \right] / \, \sigma^4 -3\,$.
Für die Gaußverteilung verschwinden Schiefe und Wölbung.
Allgemein bezeichnet man den Erwartungswert einer Potenz $n$ einer Zufallsgröße, $\left< x^n \right>$
als das n-te Moment der Verteilung. Durch Angabe aller Momente ist eine Verteilung vollständig
charakterisiert.
Berechnung der Kenngrößen mit python¶
Die python-Pakete numpy und scipy.stats bieten Funkionen, um Mittelwert und
Standardabweichung oder auch Schiefe und Wölbung (Kurtosis) zu berechnen:
x=np.random.rand(50)
mu_x = x.mean()
sig_x = x.std()
import scipy.stats
skew_x = scipy.stats.skew(x)
kurtosis_x = scipy.stats.kurtosis(x)
print('mu=', mu_x, ' sig=', sig_x, ' skew=', skew_x, ' kurt=', kurtosis_x)
Zur Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung einer Häufigkeitsverteilung
bietet das Paket PhyPraKit eine Implementierung:
from PhyPraKit import histstat
bconts, bedges = np.histogram(x, bins=10)
mean, sigma, sigma_mean = histstat(bconts, bedges, pr= True)x=np.random.rand(50)
